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Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10077/3582

Title: Non-Markovian collapse models
Authors: Ferialdi, Luca
Supervisor/Tutor: Bassi, Angelo
Issue Date: 26-Mar-2010
Publisher: Università degli studi di Trieste
Abstract: We introduce the measurement problem in quantum mechanics and we briefly discuss the solutions proposed in literature. We then focus our attention on models of spontaneous wavefunction collapse. We describe the two most popular models (GRW, CSL) and list other proposals. We analyze in detail a third collapse model (QMUPL), which is particularly simple (but physically meaningful) to be studied in great mathematical detail. We discuss its main properties. We also describe a "finite temperature" version of this model, which includes dissipative terms. These models are Markovian, i.e. the collapse mechanism is driven by a white noise. Since the ultimate goal is to identify the noise responsible for the collapse with a random field in Nature, it becomes important to study non-Markovian generalizations of collapse models, where the collapsing field has a generic correlation function, likely with a cut off at high frequencies. Models of this kind have already been studied, as a generalization of the CSL model. In this thesis we describe in mathematical detail the generalization of the QMUPL model to non-Markovian noises. After having proved, under suitable conditions, the separation of the center-of-mass and relative motions for a generic ensemble of particles, we focus our analysis on the time evolution of the center of mass of an isolated system (free particle case). We compute the explicit expression of the Green's function via the path integral formalism, for a generic Gaussian noise. We analyze in detail the case of an exponential correlation function, providing the exact analytical solution. We next study the time evolution of average quantities, such as the mean position, momentum (which satisfy Ehrefest's theorem) and energy (which is not conserved like in the other collapse models). We also compute the non-Markovian master equation for an harmonic oscillator, according to this model, and compare its structure to the well-known Lindblad structure of Markovian open quantum systems. We eventually specialize to the case of Gaussian wave functions, and prove that all basic facts about collapse models (reduction process, amplification mechanism, etc.), which are known to be true in the white noise case, hold also in the more general case of non-Markovian dynamics. We further analyze the evolution of Gaussian wave function according to the three different realizations of the QMUPL model so far developed (Markovian, non-Markovian and "finite temperature"), comparing their fundamental features. Finally, by analyzing different localization criteria, we set new lower bounds on the parameters of these models, and we compare them with the upper bounds coming from known experimental data.
Nel primo capitolo si introduce il problema della misura in Meccanica Quantistica e si discutono brevemente le soluzioni proposte nella letteratura. Nel capitolo 2 si discutono i modelli di collasso spontaneo della funzione d'onda, con particolare attenzione per i modelli GRW e CSL; si elencano altri modelli. Si analizza in dettaglio anche il modello di riduzione QMUPL, il quale è particolarmente semplice (ma fisicamente significativo) da poter essere studiato dettagliatamente dal punto di vista matematico. Si discutono le sue proprietà principali. Si descrive inoltre una versione "a temperatura finita" di questo modello, che include termini dissipativi. Questi modelli sono Markoviani, ovvero il meccanismo di collasso è guidato da un rumore bianco. Poichè parte significativa della ricerca consiste nell'identificare il rumore responsabile del collasso con un campo stocastico esistente in Natura, diventa importante studiare le generalizzazioni non-Markoviane dei modelli di riduzione, in cui il campo di collasso ha una funzione di correlazione generale, probabilmente con un cutoff ad alte frequenze. Modelli di questo tipo, come la generalizzazione del modello CSL, sono già stati studiati. In questa tesi si descrive in dettaglio la generalizzazione a rumori non-Markoviani del modello QMUPL. Dopo aver provato, sotto particolari condizioni, la separazione del moto del centro di massa da quello relativo per un generico ensemble di particelle, si pone attenzione all'evoluzione temporale del centro di massa di un sistema isolato (particella libera). Si dà l'espressione esplicita per la funzione di Green attraverso il formalismo del path-integral, per un generico rumore Gaussiano. Si analizza in particolare il caso della funzione di correlazione esponenziale, fornendo la soluzione analitica esatta delle equazioni. Successivamente si studia l'evoluzione dei valori medi, in particolare della posizione, del momento (che soddsfa il teorema di Ehrenfest) e dell'energia (che non è conservata come negli altri modelli di riduzione). Si scrive inoltre la master equation non-Markoviana per un oscillatore armonico per questo modello, e si confronta la sua struttura con le ben nota struttura di Lindblad dei sistemi quantistici aperti Markoviani. Ci si specializza al caso di funzioni d'onda Gaussiane, e si prova che tutte le nozioni di base sui modelli di riduzione (processo di collasso, meccanismo di amplificazione, ecc.), che sono note essere vere nel caso Markoviano, valgono anche nel caso più generale di dinamiche non-Markoviane. Infine, si analizza l'evoluzione di funzioni d'onda Gaussiane secondo le tre differenti realizzazioni del modello QMUPL finora analizzate (Markoviana, non-Markoviana e "a temperatura finita"), confrontando le loro caratteristiche fondamentali. Inoltre, analizzando differenti criteri di localizzazione, si individano nuovi limiti inferiori per i parametri di questi modelli, e si confrontano con i limiti superiori che vengono da dati sperimentali noti.
PhD cycle: XXII Ciclo
PhD programme: SCUOLA DI DOTTORATO DI RICERCA IN FISICA
Description: 2008/2009
Keywords: Collapse models
Non-Markovian dynamics
Measurement problem
Stochastic differential equations
Stochastic processes
Main language of document: en
Type: Tesi di dottorato
Doctoral Thesis
Scientific-educational field: FIS/02 FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI
NBN: urn:nbn:it:units-8836
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