Multibump solutions for Duffing-like systems

Abstract

Si studia il problema di esistenza di soluzioni omocline di un sistema Hamiltoniano del secondo ordine asintoticamente periodico: trovare $q\epsilon C^{2}\left(\mathbf{R\textrm{,}\mathbf{R^{\textrm{N}}}}\right)\backslash\left\{ 0\right\} $ tale che \[ \ddot{q}=q-V'\left(t,q\right),\qquad\dot{q}\left(t\right)\longrightarrow0\quad per\quad t\rightarrow\pm\infty\qquad\left(\textrm{HS}\right) \] dove si assume che l'origine è un massimo locale per il corrispondente potenziale, uniformemente nel tempo, e dove V' è asintotico per $t\rightarrow\pm\infty$ a delle funzioni $V_{\pm}^{'}$ periodiche e superquadratiche. Proviamo, via metodi variazionali che se le varietà stabile e instabile associate all'origine di uno dei problemi all'infinito hanno intersezione numerabile allora il problema (HS) ha infinite soluzioni omocline di tipo multibump.

We study the problem of existence of homoclinic solutions of a second order asymptotically periodic Hamiltonian system: find $q\epsilon C^{2}\left(\mathbf{R\textrm{,}\mathbf{R^{\textrm{N}}}}\right)\backslash\left\{ 0\right\} $ such that \[ \ddot{q}=q-V'\left(t,q\right),\qquad\dot{q}\left(t\right)\longrightarrow0\quad per\quad t\rightarrow\pm\infty\qquad\left(\textrm{HS}\right) \] where it is assumed that the origin is a local maximum for the corresponding potential, uniformly in time, and that V' is asymptotic, as $t\rightarrow\pm\infty$ to time periodic and superquadratic functions $V_{\pm}^{'}$. We prove via variational methods that if the stable and unstable manifolds associated to the origin of one of the systems at infinity have countable intersection then the problem (HS) has infinitely many homoclinic solutions of multibump type.