Analicity and uniqueness for the inverse conductivity problem

Abstract

Consideriamo il problema inverso di determinare il coefficiente di conduttività $a=1+\mu_{\mathcal{X\mathit{D}}},D\subset\subset\Omega,\mu=\textrm{costante}$, nell'equazione ellittica div$\left(a\nabla u\right)=0$ in $\Omega$, quando siano assegnati dati al bordo sovradeterminati per una soluzione u non banale. Mostriamo che la nonunicità nella determinazione di D implica che una porzione $\Gamma$ di $\partial\textrm{D}$ è soluzione di un particolare problema di frontiera libera. Dimostriamo alcune proprietà di analiticità di tale frontiera libera e, in conseguenza, otteniamo alcuni risultati di unicità per il problema inverso della conduttività.

We treat the inverse problem of the determination of the conductivity coefficient $a=1+\mu_{\mathcal{X\mathit{D}}},D\subset\subset\Omega,\mu=\textrm{costant}$, in the elliptic equation div$\left(a\nabla u\right)=0$ in $\Omega$, when overdetermined boundary data for one nontrivial solution u are assigned. We show that nonuniqueness in the detennination of the domain D would imply that a part $\Gamma$ of $\partial\textrm{D}$ is a solution of a particular free boundary problem. We prove analyticity properties of such a free boundary and, consequently, we derive uniqueness results for the inverse conductivity problem.