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Rendiconti dell‘ Istituto di matematica dell‘ Università di Trieste: an International Journal of Mathematics vol.27 (1995) >

Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10077/4609

Title: The Gegenbauer Transformation and Singular Value Decompositions for the Radon Transformation
Authors: Cnops, J.
Issue Date: 1995
Publisher: Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Citation: J. Cnops, "The Gegenbauer Transformation and Singular Value Decompositions for the Radon Transformation”, in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 27 (1995), pp. 175-193.
Series/Report no.: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
27 (1995)
Abstract: La trasformazione di Radon è uno strumento largamente usato in problemi di ricostruzione d’immagine, cosicché le tecniche d'inversione hanno raggiunto un interesse considerevole. Viene qui presentato un metodo basato sulla decomposizione dello spettro dell’Operatore di Dirac. È cosa ben nota che la trasformazione di Radon è invariante per trasfor¬mazioni ortogonali. L’invarianza di rotazione della trasformazione di Radon viene illustrata tramite la trasformazione di Gegenbauer. In questo articolo viene trattata la relazione tra la trasformazione di Radon e l’operatore di Dirne, un operatore differenziale del primo ordine che è anche invariante per trasformazioni ortogonali. Entrambi soddisfano ad una certa proprietà d’interazione. Inoltre sia l’operatore di Dirne che la trasformazione di Gegenbauer sono strettamente collegati anche se in dimensioni differenti. In questo modo possono essere dimostrate due decomposizioni singolari della trasformazione di Radon: una nella palla unitaria ed un’altra nello spazio completo Euclideo. Esse appaiono come una diretta conseguenza della formula di Rodriguez per polinomi ortogonali in molte variabili come viene stabilito in [3].
The Radon transformation is a widely used tool in image reconstruction problems, and thus inversion techniques have attracted considerable interest. Here a method is presented based on the spectral decomposition of the Dirac operator. It is well known that the Radon transformation is invariant under orthogonal transformations. The rotational invariance of the Radon transformation is illustrated by the Gegenbauer transformation. In this paper the relation between the Radon transformation and a first order differential operator which is also invariant under orthogonal transformations, the Dirac operator, is considered. The two satisfy a certain intertwining property. Moreover both the Dirac operator and the Gegenbauer transformation in different dimensions are closely linked. In this way two singular value decompositions for the Radon transformation can be proved: one in the unit ball and one in the complete Euclidean space. They appear as a straightforward consequence of the Rodrigues formulae for orthogonal polynomials in several variables as defined in [3].
URI: http://hdl.handle.net/10077/4609
ISSN: 0049-4704
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