Extremal Periodic Solutions for Nonlinear Parabolic Equations with Discontinuities

Abstract

In questo articolo consideriamo un problema al bordo non-lineare periodico соn un termine forzante discontinuo. Assumendo che l'operatore alle derivate parziali soddisfi le condizioni di Leray-Lions, il termine di perturbazione discontinua sia localmente a variazione limi¬tata e che esistano una soprasoluzione φ ed una sottosoluzione ψ tali che ψ è < oppure = a φ proviamo resistenza di una soluzione periodica massimale e minimale all'interno dell'intervallo ordinato [ψ,φ] di un problema multivoco appropriatamente definito. Il nostro approccio è basato sulla decomposizione di Jordan nel caso di termine a perturbazione discontinua dovuta a Stuart [21] e su di un teorema di punto fisso per mappe monotone in strutture ordinate.

In this paper we consider a nonlinear periodic boundary value problem with a discontinuous forcing term. Assuming that the partial differential operator satisfies the Leray-Lions conditions, that the dis¬continuous perturbation term is locally of bounded variation and that there exist an upper solution φ and a lower solution ψ such that ψ is < or = to φ to we prove the existence of a maximal and a minimal periodic solution within the order interval [ψ,φ] of an appropriately defined multivalued problem. Our approach is based on a Jordan-type decomposition for the discontinuous perturbation term due to Stuart [21] and on a fixed point theorem for monotone maps in order structures.