Limits of Dirichlet problems in perforated domains: a new formulation

Abstract

Sia A un operatore ellittico lineare del secondo ordine con coefficienti misurabili e limitati su un aperto limitato $\Omega$ di $\mathbf{R}^{\textrm{n}}$ , sia \[ K*=\{w*\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right):A*w*\leq1\, in\,\mathcal{D}'\left(\Omega\right)\qquad, \] \[ e,\, w*\geq0\, a.e.\, in\,\Omega\}\qquad, \] e sia $\Omega_{h}$ un'arbitraria successione di sottoinsiemi aperti di $\Omega$. Dimostriamo il seguente risultato di compattezza: esistono una sottosuccessione, che indichiamo ancora con $\Omega_{h}$ ed una funzione w{*} $\epsilon$ K{*} tali che, per ogni f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$ , le soluzioni u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ delle equazioni Au$_{h}$ = f in $\Omega_{h}$ , estese a zero su $\Omega/\Omega_{h}$, convergano debolmente in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$ all'unica soluzione u del problema. \[ \left(*\right)\begin{cases} \begin{array}{c} u\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right)\cap L^{\infty}\left(\Omega\right)\\ \left\langle Au,\, w*\varphi\right\rangle -\left\langle A*w*,\, u\varphi\right\rangle +\left\langle 1,u\varphi\right\rangle =\left\langle f,w*\varphi\right\rangle \:\forall\varphi\epsilon C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right) \end{array}\end{cases} \] Studiamo inoltre in maniera sistematica le proprietà delle soluzioni di tale equazione. Dimostriamo infine il seguente risultato di densità: per ogni w{*}$\epsilon$K{*} esiste una successione $\Omega_{h}$ di sottoinsiemi aperti di $\Omega$ tali che per ogni f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$ le soluzioni u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ dell'equazione Au$_{h}$=f in $\Omega_{h}$, estese a zero $\Omega/\Omega_{h}$ convergano debolmente in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$alla soluzione di ({*}).

Let A be a linear elliptic operator of the second order with bounded measurable coefficients on a bounded open set $\Omega$ of $\mathbf{R}^{\textrm{n}}$ , let \[ K*=\{w*\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right):A*w*\leq1\, in\,\mathcal{D}'\left(\Omega\right)\qquad, \] \[ e,\, w*\geq0\, a.e.\, in\,\Omega\}\qquad, \] and let $\Omega_{h}$ be an arbitrary sequence of open subsets of $\Omega$. We prove the following compactness result: there exist a subsequence, still denoted by $\Omega_{h}$ and a function w{*} $\epsilon$ K{*} such that, for every f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$ , the solutions u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ of the equation Au$_{h}$ = f in $\Omega_{h}$ , extended by zero on $\Omega/\Omega_{h}$, converge weakly in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$ to the unique solution u of the problem. \[ \left(*\right)\begin{cases} \begin{array}{c} u\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right)\cap L^{\infty}\left(\Omega\right)\\ \left\langle Au,\, w*\varphi\right\rangle -\left\langle A*w*,\, u\varphi\right\rangle +\left\langle 1,u\varphi\right\rangle =\left\langle f,w*\varphi\right\rangle \:\forall\varphi\epsilon C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right) \end{array}\end{cases} \] We provide a self-contained study of the properties of the solutions of ({*}). We prove also the following density result: for any w{*}$\epsilon$K{*} there exists a sequence $\Omega_{h}$ of open subsets of $\Omega$ such that for every f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$ the solutions u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ of the equation Au$_{h}$=f in $\Omega_{h}$, extended by zero on $\Omega/\Omega_{h}$ converge weakly in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$to the solution of ({*}).