Cubical monads and their symmetries

Abstract

Si presenta un'impostazione dell'algebra omotopica basata su un endofuntore cilindro I; e più precisamente sulla nozione di diade $\left(I,\partial^{-},\partial^{+},e,\, g^{-},g^{+}\right)$, o monade cubica. Questo quadro di base può essere arricchito di simmetrie, come l'inversione r : I$\rightarrow$I e l'interscambio s : $I^{2}\rightarrow I^{2}$ del caso topologico classico, e anzi di simmetrie generalizzate, applicabili anche, ad esempio, agli oggetti cubici e alle algebre graduate differenziali. Le due monadi associate ad una diade, il cono inferiore e il cono superiore, sono ottenute mediante collasso di una base del cilindro; le simmetrie sono importanti per il loro studio.

This work is concerned with a setting for homotopical algebra based on a cylinder endofunctor I; and more precisely on the notion of diad $\left(I,\partial^{-},\partial^{+},e,\, g^{-},g^{+}\right)$, or cubical monad. This basic frame can be enriched with symmetries, as the reversion r : I$\rightarrow$I and interchange s : $I^{2}\rightarrow I^{2}$ for the classical topological case; or with generalised symmetries, applying also, for instance, to cubical objects or differential graded algebras. The two monads associated to a diad, lower cone and upper cone, are obtained by collapsing one base of the cylinder; symmetries are relevant for the study of their properties.