Equicontinuity and uniform boundedness

Abstract

Una formulazione del Principio di uniforme limitatezza asserisce che se una famiglia di operatori lineari e continui, definiti su un B-spazio, e a valori in uno spazio normato, è limitata puntualmente, allora la famiglia è equicontinua. Semplici esempi mostrano che questa conclusione è falsa senza qualche ipotesi sul dominio di definizione. Proveremo una generalizzazione di questa formulazione del Principio di uniforme limitatezza, la quale sussiste senza alcuna ipotesi sul dominio di definizione. Mostreremo che esiste una topologia localmente connessa sul dominio di definizione con la proprietà che ogni famiglia di operatori lineari e continui limitata puntualmente è equicontinua rispetto a tale topologia.

One form of the Uniform Boundedness Principle asserts that if a family of continuous linear operators from a B-space into a normed space is pointwise bounded, then the family is equicontinuous. Simple examples show that this conclusion is false without some type of assumption on the domain space. We establish a generalization of this form of the Uniform Boundedness Principle which holds without any assumptions on the domain space. We show that there is a locally convex topology on the domain space with the property that any pointwise bounded family of continuous linear operators is equicontinuous with respect to this topology.