An invariance property of the critical groups

Abstract

Il risultato principale di questo articolo è il seguente: sia ($\varphi\lambda$) una famiglia di funzioni a valori reali definita su uno spazio di Hilbert reale e sufficientemente regolare per poter applicare la Teoria di Morse classica. Le applicazioni $\lambda\rightarrow\varphi\lambda(u)$ e $\lambda\rightarrow\nabla\varphi\lambda(u)$ siano continue in $\lambda$, uniformemente in u $\epsilon B\left[0,r\right]$. Se per ogni $\lambda$, u$\lambda$ è il solo punto critico di $\varphi\lambda$ in B$\left[0,r\right]$, allora i gruppi critici C$_{n}(\varphi\lambda,u\lambda)$ non dipendono da $\lambda$. Il risultato è applicato ad un problema nonlineare ellitico.

The main result in this article is as follow: suppose that a ($\varphi\lambda$) is a family of real-valued functions defined on real Hilbert space and sufficiently smooth such that the classical Morse Theory can be applied. Suppose that the mappings $\lambda\rightarrow\varphi\lambda(u)$ and $\lambda\rightarrow\nabla\varphi\lambda(u)$ are continuous in $\lambda$, uniformly in u $\epsilon B\left[0,r\right]$. If for each $\lambda$, u$\lambda$ is the only critical point of $\varphi\lambda$ in B$\left[0,r\right]$, then the critical groups C$_{n}(\varphi\lambda,u\lambda)$ are independent of $\lambda$. An application to a nonlinear elliptic problem is given.