Alcune osservazioni su problemi ellittici semilineari a simmetria radiale

Abstract

Si studia il problema ellittico semilineare al contorno \[ \begin{cases} \overset{\Delta u+\mid u\mid^{p-1}\cdot u=0}{u=0} & \overset{in\Omega}{su\partial\Omega}\end{cases} \] dove $\Omega$ è un aperto e limitato di $\mathbf{R^{\textrm{n}}}$, n $\geq$ 3, p > 1. Si dimostra l'esistenza di un continuo di soluzioni positive singolari nell'origine per $\Omega=B_{R}$ e p<(n+2)/(n-2) la non esistenza per $\Omega=B_{R}$ e p$\geq$(n+2)/(n-2). Nel caso in cui $\Omega$ è un anello si provano esistenza e unicità a meno del segno di soluzioni radiali con un numero prefissato k $\geq$ 0 di linee nodali.

We study the semilinear elliptic boundary value problem \[ \begin{cases} \overset{\Delta u+\mid u\mid^{p-1}\cdot u=0}{u=0} & \overset{in\Omega}{su\partial\Omega}\end{cases} \] where $\Omega$ is an open bounded set in $\mathbf{R^{\textrm{n}}}$, n $\geq$ 3, p > 1. We prove the existence of a continuum of positive solutions singular in the origin when $\Omega=B_{R}$ and p<(n+2)/(n-2), non existence when $\Omega=B_{R}$ and p$\geq$(n+2)/(n-2). When $\Omega$ is an annulus, we prove existence and uniqueness (except for the sign) of radial solutions with an arbitrary number k $\geq$ 0 of nodal lines.