Il problema di Cauchy per una classe di equazioni differenziali lineari a derivate parziali con coefficienti discontinui

Abstract

In questo lavoro si studiano equazioni della forma \[ \begin{aligned}(\text{\textdegree)\qquad\qquad}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad & u+\sum a_{i}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=0\end{aligned} \] in cui i coefficienti a$_{i}$ (t, x$_{1}$,..., Xn) possono essere discontinui e per le quali viene adottata una particolare nozione di soluzione di tipo generalizzato già introdotta in un precedente lavoro. Si dimostra che il problema di Cauchy associato a (\textdegree{}) con dato iniziale di classe C\textdegree{} ha una ed una sola soluzione di classe C. I risultati precedentemente ottenuti vengono così estesi a situazioni alquanto più generali relativamente alle condizioni imposte sul comportamento delle discontinuità dei coefficienti a$_{i}$. L'ipotesi fondamentale richiede, sostanzialmente, che ogni eventuale linea fatta di punti di discontinuità per i coefficienti a$_{i}$ verifichi una certa \textquotedbl{}condizione di trasversalità\textquotedbl{} (di cui verosimilmente non è possibile fare a meno) rispetto al campo vettoria le definente le caratteristiche di (\textdegree{}).

In this paper we study first order evolution equations of the form \[ \begin{aligned}(\text{\textdegree)\qquad\qquad}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad & u+\sum a_{i}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=0\end{aligned} \] where the coefficients a$_{i}$ (t, x$_{1}$,..., Xn) may be discontinuous. The solutions of (\textdegree{}) are intended in some weak sense, as introduced in a previous work on the same subject. We prove the existence and uniqueness of C\textdegree{} solution of the Cauchy's problem associated to the equation (\textdegree{}) with C\textdegree{} initial condition. The previous results are so extended to much more general situations relative to the behaviour of the discontinuities of the coefficients a$_{i}$. provided that each line (if any) which consists of points of discontinuity for the vectorfield defining the characteristics of (\textdegree{}) fulfilles some \textquotedbl{}transversality condìtion\textquotedbl{} (which seemingly cannot be omitted) with respect to the above vectorfield.