Il triplo linking ed applicazioni nella teoria dei difetti dei mezzi ordinati

Abstract

Sulla frontiera S$^{3}$di un 4-disco D$^{4}$ sia dato un link non banale di n componenti. Associamo a ciascuna componente un manico di dimensione 4 e di indice 2 con framing zero. Sulla 4-varietà liscia W$^{4}$=S$^{3}$+ $\left\{ manici\right\} $ ottenuta, definiamo un triplo linking. In questo lavoro dimostriamo l'esistenza di una relazione tra il triplo linking ed il triplo prodotto di Sullivan sulla frontiera di W$^{4}$ provando come un'informazione (il triplo linking) data dal link su S$^{3}$ si traduce in un'informazione (triplo prodotto di Sullivan) sulla coomologia (di indice 1) relativa della 4 -varietà W$^{4}$ rispetto al suo bordo (e viceversa). Si dimostra poi come il triplo linking è un invariante che permette (insieme ad altre condizioni) di decidere se un difetto, di tipo anelli di Borromeo, può essere o no topologicamente stabile nel senso della teoria dei difetti nei mezzi ordinati.

On the boundary S$^{3}$ of a 4-ball D$^{4}$ we consider a non trivial link with n components.At each component of the link we attach a handle with zero framing. In the smooth 4 -manifold W$^{4}$=S$^{3}$+ $\left\{ handles\right\} $ we define the triple linking number. This paper shows a relation between the triple linking number and the Sullivan's triple product on the boundary of W$^{4}$ proving that an information (the triple linking number) over the non trivial link in the S$^{3}$ can be translaled as a information over the relative cohomology of the 4- manifold W$^{4}$ with respect to its boundary (and vice versa). We also prove that the triple linking is a topological obstruction for linked singularities as Borromeo's links in condensed matter.