On the periodic BVP for the forced Duffing equation

Abstract

Si studiano condizioni sufficienti per l'esistenza e la molteplicità esatta di soluzioni di una equazione del tipo di Duffing -Ax + $a\sin x$=e, con \[ A:\textrm{dom}A\subseteq L^{\infty}\rightarrow L^{\infty}=L^{\infty}(\left[0,T\right],\mathbf{R}) \] lineare, con nucleo le costanti e imagine le funzioni a integrale nullo, con inverso destro compatto, e dove a > 0, e $\epsilon L^{\infty}$. Come applicazione, si studia il problema ai limiti periodico per l'equazione ordinaria del tipo di Duffing $d^{n}x/dt^{n}+a\textrm{sen}(x)=e(t)$ che quando n = 2 è la usuale equazione del pendolo forzato.

We study the equation of Duffing type-Ax + $a\sin x$=e, where \[ A:\textrm{dom}A\subseteq L^{\infty}\rightarrow L^{\infty}=L^{\infty}(\left[0,T\right],\mathbf{R}) \] is a linear map whose kernel consists of constant mappings, the range is the set of maps with mean value zero, having a compact rigth inverse, and where a > 0, e $\epsilon L^{\infty}$. Sufficient conditions for the existence and for the exact multiplicity of the solutions are given. As an application, we consider the periodic BVP for the n-th order ODE of Duffing type $d^{n}x/dt^{n}+a\textrm{sen}(x)=e(t)$ which is, when n = 2 , the usual forced pendulum equation.