On the Fredholm alternative for a-homogeneous operators

Abstract

Si considera la relazione tra la risolubilità dell'equazione \[ (1)\qquad J(x)-\mu S(x^{+})+\nu S(x^{-})+G(x)=f \] e l'insieme dei parametri reali $\mu$ e $\nu$ per i quali esiste una soluzione non banale di \[ J(x)-\mu S(x^{+})+\nu S(x^{-})=0 \] (x$^{+}$, risp. x$^{-}$, è la parte ``positiva'', risp. ``negativa'', di x). Usando un procedimento topologico basato sulla teoria del grado di Leray-Schauder si fa vedere, in alcuni casi speciali di problemi di valori al contorno per equazioni differenziali ordinarie, che esiste una stretta relazione tra le asserzioni riguardanti la risolubilità di (1) e l'alternativa classica di Fredholm (nei casi speciali degli operatori J, S e $\mu=\nu$)

We are interested in the relation between the solvability of the equation \[ (1)\qquad J(x)-\mu S(x^{+})+\nu S(x^{-})+G(x)=f \] and the set of real parameters $\mu$ and $\nu$ for which there exists a nontrivial solution of \[ J(x)-\mu S(x^{+})+\nu S(x^{-})=0 \] (x$^{+}$, resp. x$^{-}$, is the ``positive'', resp. ``negative'', part of x). Using a topological argument based on the Leray-Schauder degree theory it is shown, in some special cases of boundary value problems for ordinary differential equations, that there is a close relation between the assertions concerning the solvability of (1) and the classical Fredholm alternative (in the special cases of operators J, S and $\mu=\nu$)