Equation de Yamabe sur un ouvert non contractile

Abstract

Sia $\Omega$ un aperto limitato regolare di $\mathbf{R^{\textrm{3}}}$. Si dimostra che se $\Omega$ è connesso, ma non contrattile, allora l'equazione $\Delta u+u^{5}$=0 in $\Omega$, u > 0 in $\Omega$ e u=0 su $\text{\ensuremath{\partial\Omega}}$ ha almeno una soluzione.

Let $\Omega$ be a bounded open regular set in $\mathbf{R^{\textrm{3}}}$. We prove that if $\Omega$ is connected but not contractible, then the equation $\Delta u+u^{5}$=0 in $\Omega$, u > 0 in $\Omega$ and u=0 on $\text{\ensuremath{\partial\Omega}}$ has at least a solution.