A class of linear operators in periodic function spaces including difference-differential operators

Abstract

Si fa uno studio degli operatori lineari definiti negli spazi di Banach C$_{T}^{n}$ delle funzioni T-periodiche e di classe C$^{n}$, u:$\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{C}$, n$\geq0$, per i quali la composizione con gli operatori di traslazione u$\rightarrow$u(.$^{+\tau}$), $^{\tau\epsilon}\mathbf{R}$ è commutativa. Si trovano gli autovalori e si dà una rappresentazione del tipo Lu=$\intop_{0}^{T}$u (x$^{u}.$) dG (x) per mezzo di funzioni a variazione limitata. I risultati teorici sono applicati ad operatori definiti da equazioni differenziali alle differenze.

This is a study of linear operators for which composition with shift operators u$\rightarrow$u(.$^{+\tau}$), $^{\tau\epsilon}\mathbf{R}$, on Banach spaces C$_{T}^{n}$ of T-periodic functions u:$\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{C}$, n$\geq0$, is commutative. Eigenvalues are found and representations of the type Lu=$\intop_{0}^{T}$u (x$^{u}.$) dG (x) by functions of bounded variation are given. The abstract results are applied to operators given by differencedifferential equations\textbf{.}