Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste: an International Journal of Mathematics vol.12 (1980)

Si dimostra un teorema relativo all'esistenza di soluzioni periodiche per i sistemi del tipo x" + F (x') + G (x) = h (·,x, x') in presenza di smorzamento non lineare che permette di evitare fenomeni di risonama. Tutti i risultati sono dimostrati nell'ambito della teoria del grado topologico di Leray-Schauder.

Si dimostra un teorema di prolungabilità delle soluzioni di un'equazione differenziale multivoca in uno spazio di Banach x'(t)$\epsilon$F (t, x (t)) con la condizione iniziale x (a) = x$^{0}$, estendendo a questo caso un risultato noto per le equazioni differenziali ordinarie. Quando l'equazione è in $\mathbf{R^{\textrm{n}}}$, sotto le stesse condizioni che garantiscono la prolungabilità, si dimostrano alcune proprietà dell'insieme delle soluzioni.

Sia A un anello graduato, a graduazione intera, commutativo con unità. Si studia l’operazione che associa ad un ideale α di A l’ideale α* generato dagli elementi omogenei di α, con particolare riguardo alle relazioni con la profondità e la lunghezza.

In questo lavoro si studia il problema di valori al contorno (I), EE{*}u=f $\mathit{in}$ A (II), D$^{s}$u= 0 $\mathit{su}$ \ensuremath{\partial} A $\mathit{per}$ 0$\leq$ $\mid s\mid$$\leq$m - 1 dove E è un particolare operatore ellittico di ordine m$\geq$1 ed E{*} è l'operatore formalmente aggiuntoo di E. Di tali operatori è possibile costruire gli operatori soluzioni fondamentali. Ciò permette di dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione del problema (I), (II), in una opportuna classe $\mathscr{U}$ (A) per ogni F $\epsilon\mathcal{\mathscr{L}}$$^{2}$ (A). Il fatto più saliente è che dell'operatore di Green del problema (I), (II) si dà la forma esplicita. Ciò permette di studiare il problema di autovalori relativo ad (l), (Il) usando (oltre che il metodo di Rayleigh-Ritz) quello degli invarianti ortogonali.

Viene discusso un metodo computazionale per valutare le caratteristiche di convergenza della soluzione di una equazione lineare alle differenze, di ordine r, nella sua forma canonica. Ci si riconduce al computo di talune proprietà empiriche dei coefficienti della soluzione e ad una stima «a priori» della convergenza di ogni forma canonica assegnata.