Sull'applicabilità di una formula per il calcolo numerico della trasformata di Hilbert

Abstract

We give a class$H$ of functions for which Hilbert transform exists and sufficient conditions for belonging to $H$ . We show that the numerical formula: \[ g_{T/2}(c+nT)=\frac{2}{\pi}\:\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\sum\underset{k}{}{\textstyle {\displaystyle }}}}\frac{f(c+(n+k)T)}{2k+1}, \] found $[3]$ under the assumption that the function $f$ to transform belongs to $L^{2}]-\infty,+\infty[,$ holds for functions belonging to $H$. A bound for error is given.

Si introduce una classe $H$ di funzioni per le quali esiste la trasformata di Hilbert e si danno condizioni sufficienti per l'appartenenza alla classe. Si dimostra che la formula numerica: \[ g_{T/2}(c+nT)=\frac{2}{\pi}\:\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\sum\underset{k}{}{\textstyle {\displaystyle }}}}\frac{f(c+(n+k)T)}{2k+1}, \] trovata $[3]$ sotto la condizione che la funzione $f$ di cui s vuole calcolare la trasformata di Hilbert appartenga ad $L^{2}]-\infty,+\infty[,$ è applicabile a funzioni che appartengono ad $H$ . Si valuta un maggiorante dell'errore.