Free extensions of distributive lattices

Abstract

Si prova l'esistenza di $\mathscr{\mathcal{\mathscr{K}}}-estensioni$ libere $D_{\alpha}(\mathscr{K})$ di un reticolo distributivo $D$ per certe classi $\mathscr{K}$ di reticoli distributivi $\alpha-completi$ e si indaga quando $D_{\alpha}(\mathscr{K})$ è isomorfa ad un $\alpha-anello$ di insiemi. Se $\mathscr{K}$ soddisfa le identità $\cup$e $\cap$distributive $\alpha-infinite$, si assegna una condizione sufficiente affinché $D_{\alpha}(\mathscr{K})$ sia isomorfa ad un $\alpha-anello$ di insiemi e si fa vedere che se $\alpha$è numerabile, $D_{\alpha}(\mathscr{K})$ è sempre isomorfa ad un tale anello.

We prove the existence of the free $\mathscr{\mathcal{\mathscr{K}}}-extensions$ $D_{\alpha}(\mathscr{K})$ of a distributive lattice $D$ for certain classes $\mathscr{K}$ of $\alpha-complete$ distributive lattices and examine when $D_{\alpha}(\mathscr{K})$ is isomorphic to a $\alpha-ring$ of sets. When $\mathscr{K}$ satisfies the join and meet $\alpha-infinite$ distributive identities we give a sufficient condition for $D_{\alpha}(\mathscr{K})$ to be isomorphic to an $\alpha-ring$of sets, and show that if $\alpha$is countable, then $D_{\alpha}(\mathscr{K})$is always isomorphic to an $\alpha-ring$ of sets.