Una nuova classe di funzioni in un'algebra reale

Abstract

In un'algebra reale $A$, si considerano le funzioni per le quali la $r-forma$ esterna $Fdx^{A\ldots A}dx$ a valori in $A$ risulti chiusa (funzioni r-olomorfe). Queste funzioni comprendono, per $r=1$, le funzioni monogene $(df=f^{'}dx)$ studiate da vari Autori; mentre, per $r=n-1$, vanno avvicinate alle funzioni regolari di FUETER e MOSIL ed anzi coincidono con queste (a meno di un opportuno isomorfismo) nell'algebra dei quaternioni e nelle algebre di Clifford. Per le funzioni r-olomorfe in un'algebra qualsiasi si stabilisce un teorema integrale di tipo CAUCHY. Una formula integrale è poi ottenuta nel caso dell'algebra dei quaternioni.

Let $A$ be an algebra on $R$ and $f$ a function in $A$. Consider the exterior r-form $F=fdx^{A\ldots A}dx$ with values in $A$. We say that $f$ is r-holomorphic if $F$ is closed. Monogenic functions $(df=f^{'}dx)$(SCHEFFERS, LORCH, RIZZA,...) is a special case $(r=1).$Regular functions (MOISIL, FUETER) are strictly related to $(n-1)-holomorphic$ functions $(n=\underset{R}{\dim A}.$In particular these classes of functions coincide (up to suitable isomorphism), when $A$ is the quaternion algebra $Q$ or a CLIFFORD algebra $C$. For r-holomorphic functions in a general algebra $A$ , a CAUCHY theorem is proved. A representation formula, when $A=Q$, is also obtained.