Connection between the n-dimensional affine space A_{n,q} and the curve C, with equation y=x^{q}, of the affine plane A_{2,q}n

Abstract

Indicata con $C$ la curva di equazione $y=x^{q}$ nel piano affine $A_{2,q^{n}}(n\geq1,q=p^{h})$, è definita una struttura d'incidenza $I(C)$ nel modo seguente: i punti sono gli elementi di $C$ , le $C-rette$ sono gli insiemi formati da $q$ punti allineati di $C$ e l'incidenza è quella stessa di $A_{2,q^{n}}\cdot I(C)$ è lo spazio affine a $n$ dimensioni su $GF(q)$ , e due $C-rette$ sono parallele se e solo se le rette corrispondenti di $A_{2,q^{n}}$sono parallele. Ne segue che la determinazione delle calotte di $A_{n,q}(n>2)$ è equivalente alla determinazione delle intersezioni di $C$ con gli archi del piano $A_{2,q^{n}}$.