Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste: an International Journal of Mathematics vol.15 (1983)

In questa nota si continua lo studio della classe (P) dei gruppi nei quali l’intersezione di due sottogruppi non con¬frontabili è abeliana. Sono esaminati i gruppi localmente super¬solubili e localmente risolubili in (P).

Come estensione di un risultato di Wanda Szmielew riguardante relazioni d’ordine totale, si assegna un sistema di assiomi per la relazione ternaria «fra» da cui si deduce un ordinamento (parziale) nel quale la data relazione ternaria ha il significato usuale.

Si danno teoremi di punto unito, rispettivamente per una e per due applicazioni, in spazi metrici generalizzati (H- spazi) già introdotti in un precedente lavoro. Si citano poi alcu¬ni dei teoremi noti che si possono considerare casi particolari di questi.

Si presenta un metodo per provare la convergenza di certi processi iterativi e lo si applica ai metodi di tipo Newtoniano della forma x$_{n+1}=x_{n}-(Ax_{n})^{-1}F(x_{n})$, ottenendo al tempo stesso delle maggiorazioni a posteriori dell'errore in senso stretto.

Viene studiato il problema al contorno con jumping nonlinearities su un dominio limitato regolare $\Omega\subset\mathbf{R^{\textrm{n}}}$; \[ -\Delta u=\lambda+u^{+}-\lambda\_u+g(u)+h\qquad\qquad in\quad\Omega \] \[ u=0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad su\quad\text{\ensuremath{\partial}}\Omega \] con g sublineare

Si studia, in rapporto a questioni di convergenza globale del metodo delle approssimazioni successive ed alla questione dell'esistenza di un punto fisso comune a due applicazioni, la condizione Fix f=Fix f$_{2}$; si forniscono, tra l'altro, condizioni equivalenti ad essa e si ritrova, generalizzata, una nota proposizione relativa ai sistemi dinamici discreti.

Dati uno spazio topologico compatto S ed un grafo finito ed orientato G, si dimostra che in ogni classe di omotopia o-regolare si può scegliere una funzione completamente regolare e debolmente quasi-costante rispetto ad una opportuna partizione P di S. Se inoltre S è triangolatile, si può scegliere una funzione pre-cellulare vale a dire completamente regolare e propria¬mente quasi-costante rispetto ad una opportuna suddivisione cel-lulare di S.

Sull’insieme delle parti di un insieme Ω si definiscono, mediante la probabilità condizionata, due relazioni di equivalenza e due ordinamenti che permettono di confrontare fra loro eventi di probabilità nulla e si studiano le proprietà delle strut¬ture di ordine ottenute. Si danno infine caratterizzazioni di dette relazioni in termini di misure strettamente positive a valori in un campo iperreale.

Per le strutture di convergenza (di successioni ordina¬rie) si confrontano quattro condizioni di tipo diagonale; si costruisce un esempio di convergenza che, aggiunto alle implicazioni già note, dimostra che le quattro condizioni sono a due a due non equivalenti.

Si estende la definizione di entropia a distribuzioni di probabilità numerabili finitamente additive. L’impostazione scelta è pragmatica (fa uso di teoremi di codifica). L’entropia di una distribuzione di probabilità finitamente additiva in senso stretto viene posta pari a + infinto, poiché la corrispondente sorgen¬te stazionaria senza memoria non è comprimibile mediante codici-blocco; in effetti, a parte casi banali, le sorgenti finitamente additive in senso stretto non sono mai comprimibili mediante codici-blocco.