Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste: an International Journal of Mathematics vol.12 (1980)

In questa nota si caratterizzano la semisemplicità, la dimensione e certe proprietà di completezza di un’algebra di Banach combinando e facendo intervenire contemporaneamente proprietà algebriche, topologiche e di teoria della misura le quali sono naturalmente associate ad una tale algebra. La caratterizzazione ottenuta per le algebre semisemplici in termini di normalità, continuità e proprietà T2 completano alcuni risultati precedenti di [3]. La caratterizzazione della completezza e della dimensione estende considerevolmente il lavoro di Cohen e risponde ad alcune delle questioni da lui poste in [1].

Sia A un anello graduato, a graduazione intera, commutativo con unità. Si studia l’operazione che associa ad un ideale α di A l’ideale α* generato dagli elementi omogenei di α, con particolare riguardo alle relazioni con la profondità e la lunghezza.

Il metodo degli invarianti ortogonali sviluppato da Fichera (vedi {[}4,5{]}) è applicato a problemi di autovalori del tipo \begin{align*} (1)\quad\quad\qquad\qquad & \textrm{Tu}=\lambda\textrm{Su} \end{align*} dove T ed S sono operatori K-positivi in uno spazio H, di Hilbert, complesso, e separabile.

Si dimostra un teorema relativo all'esistenza di soluzioni periodiche per i sistemi del tipo x" + F (x') + G (x) = h (·,x, x') in presenza di smorzamento non lineare che permette di evitare fenomeni di risonama. Tutti i risultati sono dimostrati nell'ambito della teoria del grado topologico di Leray-Schauder.

In questo lavoro si studia il problema di valori al contorno (I), EE{*}u=f $\mathit{in}$ A (II), D$^{s}$u= 0 $\mathit{su}$ \ensuremath{\partial} A $\mathit{per}$ 0$\leq$ $\mid s\mid$$\leq$m - 1 dove E è un particolare operatore ellittico di ordine m$\geq$1 ed E{*} è l'operatore formalmente aggiuntoo di E. Di tali operatori è possibile costruire gli operatori soluzioni fondamentali. Ciò permette di dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione del problema (I), (II), in una opportuna classe $\mathscr{U}$ (A) per ogni F $\epsilon\mathcal{\mathscr{L}}$$^{2}$ (A). Il fatto più saliente è che dell'operatore di Green del problema (I), (II) si dà la forma esplicita. Ciò permette di studiare il problema di autovalori relativo ad (l), (Il) usando (oltre che il metodo di Rayleigh-Ritz) quello degli invarianti ortogonali.

Si dimostra un teorema di prolungabilità delle soluzioni di un'equazione differenziale multivoca in uno spazio di Banach x'(t)$\epsilon$F (t, x (t)) con la condizione iniziale x (a) = x$^{0}$, estendendo a questo caso un risultato noto per le equazioni differenziali ordinarie. Quando l'equazione è in $\mathbf{R^{\textrm{n}}}$, sotto le stesse condizioni che garantiscono la prolungabilità, si dimostrano alcune proprietà dell'insieme delle soluzioni.

Viene discusso un metodo computazionale per valutare le caratteristiche di convergenza della soluzione di una equazione lineare alle differenze, di ordine r, nella sua forma canonica. Ci si riconduce al computo di talune proprietà empiriche dei coefficienti della soluzione e ad una stima «a priori» della convergenza di ogni forma canonica assegnata.

Si dà una nuova caratterizzazione degli anelli semiprimi di Goldie.

Si definiscono gli spazi α-fortemente normali e si stabiliscono teoremi di selezione. Si dà inoltre una nuova caratterizzazione degli spazi α-collettivamente normali.