Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste: an International Journal of Mathematics vol.02 (1970)

Si considera un procedimento iterativo di ordine superiore per Ia risoluzione di equazioni funzionali negli spazi di Banach che non richiede una valutazione esplicita delle derivate di ordine maggiore di 1. Si dà un teorema di convergenza. Si discute un’applicazione del procedimento alla ' risoluzione di problemi ai limiti con due punti e si dà un esempio numerico per le equazioni integrali di Cliandraseckhar.

Utilizzando una ben nota formula di quadratura, si conseguono, per le funzioni circolari,approssimazioni di tipo razionale numericamente efficaci.

Indicata con f una funzione regolare unialente per | z | < 1, con /(0) = 0, f' (O) = 1, si esaminano i punti fissi di f con f (z) — z. Si costruisce lo spazio S di tutte Ie funzioni f ; tale spazio, con un'opportuna metrica, è un continuo. L’insieme di tutte Ie f possedent ipunti ilssi non banali, è un insieme aperto in S.

Indicata con $C$ la curva di equazione $y=x^{q}$ nel piano affine $A_{2,q^{n}}(n\geq1,q=p^{h})$, è definita una struttura d'incidenza $I(C)$ nel modo seguente: i punti sono gli elementi di $C$ , le $C-rette$ sono gli insiemi formati da $q$ punti allineati di $C$ e l'incidenza è quella stessa di $A_{2,q^{n}}\cdot I(C)$ è lo spazio affine a $n$ dimensioni su $GF(q)$ , e due $C-rette$ sono parallele se e solo se le rette corrispondenti di $A_{2,q^{n}}$sono parallele. Ne segue che la determinazione delle calotte di $A_{n,q}(n>2)$ è equivalente alla determinazione delle intersezioni di $C$ con gli archi del piano $A_{2,q^{n}}$.

Con ricorrenza transfinita si definisce una classe di m-spazi di Moebius ovoidali. Per ogni coppia di interi m, n > 0 ed ogni spazio affine desarguesiano infinito A di dimensione n esiste un m-spazio di Moebius ovoi¬dale ad n dimensioni, il cui spazio affine dedotto risulta isomorfo ad A. In particolare, il piano affine desarguesiano sopra il corpo complesso o dei quaternioni può essere chiuso, mediante aggiunta di un punto, in un piano di Moebius ovoidale.

Una condizione necessaria e sufficiente per la metrizzabilità di uno spazio topologico.

Si svolgono considerazioni di carattere termodinamico sulla deduzio¬ne dell’equazione della conduzione del calore ; si considera in particolare l'influenza della tensione superficiale.

I risultati sulla compattezza di un filtro stabiliti da Furi e Martelli per gli spazi metrici vengono qui generalizzati, mediante estensione della nozione di numero di Kuratowski, per gli spazi uniformi. Vengono dedotte alcune conseguenze.

Sono studiate condizioni atte ad assicurare la convergenza della successione delle iterate generata da una trasformazione continua di uno spazio metrico in sè e sono ottenute proprietà caratterizzanti Ia convergenza a punti fìssi. Questi risultati vengono poi applicati al caso delle contrazioni negli spazi metrici e in taluni spazi di Banachf dando luogo a nuovi teoremi di convergenza.

La nota contiene una costruzione di una struttura di incidenza di punti e piani di uno spazio proiettivo che è isomorfa ad un dato piano proiettivo libero di rango finito ed una analoga costruzione per i piani liberi di Moebius.

Vengono studiati, con particolare riguardo alle proprietà del primo e secondo ordine, il processo stocastico degli intervalli d'attesa fra successi contigui collegato ad una successione di eventi scambiabili (processo illimitato) e quello collegato ad una sequenza finita (processo limitato).

Utilizzando alcuni risultati dovuti a W. A. Coppel, S. C. Chu e R. D. Moyer, si fanno alcune osservazioni sulla convergenza delle succes¬sioni delle iterate relative a funzioni crescenti, osservazioni che conducono ad un procedimento di calcolo per le radici reali di una equazione f(x)= 0, ove f(x) è una funzione continua a rapporto incrementale limitato. Va notato che tale procedimento prescinde dalla operazione preliminare della separazione delle radici. L'efficacia del metodo viene infine illustrata attra¬verso esempi trattati sul calcolatore elettronico.

In questo lavoro sono ripresi alcuni risultati di L E. Segal, A. C. Zaanen e J. L. Kelley, riguardanti il teorema di Radon-Nikodym nel caso non σ-fìnito. Si dimostrano due teoremi (teorema 3.1 e teorema 5.1) che caratterizzano Ia validità del detto teorema con opportune condizioni sulla relazione tra gli insiemi che sono σ-finiti rispetto ad una misura ed un suo integrale indefinito qualunque.

Per equazioni differenziali con argomenti ritardati su una varietà compatta X vale Ia seguente proposizione: Per ogni punto di X passa al¬meno una soluzione definita sulla retta reale.

In questo articolo si dà una cararatterizzazione delle basi di filtro compatte negli spazi metrici completi, usando il numero α di Kuratowski (Teorema 1). Come conseguenza di tale caratterizzazione si estendono alcuni noti risultati di Cantor-Kuratowski, Kuratowski e Painlevé-Kuratowski (Teoremi 2, 3 e 4 rispettivamente).

Si prosegue Io studio dell'integrale connesso con un funzionale J subadditivo, omogeneo e crescente su un cono ereditario di funzioni positive. Si indaga poi sulle relative nozioni di misurabilità per insiemi e per funzioni.

Si estende ad anelli non commutativi Ia nozione di elemento integrale, e si fa vedere il perchè, in una siffatta estensione, alcuni classici teoremi vengano a Cadere1 ed il come i teoremi stessi possano essere eventual¬mente modificati.