Introduzione alla teoria delle probabilità coerenti - Volume 2

La nozione di indipendenza stocastica ha un ruolo centrale in ogni teoria delle probabilità. Quella di n eventi sta alla base di ogni sua estensione. In termini intuitivi, n eventi sono stocasticamente indipendenti se per la valutazione della probabilità di ciascuno di essi non importa conoscere il valore logico degli altri. La condizione si traduce in uguaglianze tra probabilità assolute e condizionate, per soddisfare le quali è necessario che la probabilità si fattorizzi su ogni prodotto logico di parte degli n eventi. Nella teoria classica (e anche da de Finetti) questa fattorizzazione è assunta come definizione di indipendenza stocastica. Essa ne coglie il significato intuitivo se gli eventi sono di probabilità strettamente compresa tra 0 e 1; altrimenti è fonte di situazioni paradossali – di indipendenza stocastica in presenza di dipendenza logica – che pongono la definizione ben lontana dal cogliere il significato intuitivo della nozione. Lo nota lo stesso de Finetti, aggiungendo però che "sembra difficile migliorarla senza uscire dalle possibilità realistiche". Gli argomenti svolti in questo capitolo mostrano però che trattando il problema nel modo più generale in termini di probabilità condizionate coerenti è possibile dare appieno consistenza teorica al significato intuitivo della nozione. Lo studio mette in evidenza che l'indipendenza logica degli eventi che vengono confrontati (in ogni caso a gruppi finiti) è prerequisito necessario (com'era da attendersi) e anche sufficiente (cosa meno scontata ancorché auspicabile) per garantire l'esistenza di probabilità in grado di realizzare l'indipendenza stocastica. La fattorizzazione – di fondamentale importanza nelle applicazioni e scelta come definizione nella teoria classica – è in questo contesto condizione necessaria per l'indipendenza stocastica, ma non sufficiente. Differentemente dal caso classico, in questa impostazione non tutte le probabilità che si fattorizzano sono compatibili con l'indipendenza stocastica. Ed è proprio grazie a ciò che non si corre il rischio di andare incontro a situazioni paradossali.