Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste: an International Journal of Mathematics vol.26 (1994)

Per quanto concerne la positività, i sistemi cooperativi ellittici e parabolici si comportano come le corrispondenti equazioni: una sorgente positiva implica che la soluzione è positiva. I sistemi con accoppiamento non cooperativo presentano invece un diverso comportamento. Per i sistemi ellittici non cooperativi sussiste un risultato limitato ma uniforme di positività mentre per i sistemi parabolici non cooperativi non esiste alcun risultato di positività. In questo lavoro si esaminano condizioni che assicurino la positività di un sistema intermedio di tipo misto parabolico-ellittico.

Sia A un operatore ellittico lineare del secondo ordine con coefficienti misurabili e limitati su un aperto limitato $\Omega$ di $\mathbf{R}^{\textrm{n}}$ , sia \[ K*=\{w*\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right):A*w*\leq1\, in\,\mathcal{D}'\left(\Omega\right)\qquad, \] \[ e,\, w*\geq0\, a.e.\, in\,\Omega\}\qquad, \] e sia $\Omega_{h}$ un'arbitraria successione di sottoinsiemi aperti di $\Omega$. Dimostriamo il seguente risultato di compattezza: esistono una sottosuccessione, che indichiamo ancora con $\Omega_{h}$ ed una funzione w{*} $\epsilon$ K{*} tali che, per ogni f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$ , le soluzioni u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ delle equazioni Au$_{h}$ = f in $\Omega_{h}$ , estese a zero su $\Omega/\Omega_{h}$, convergano debolmente in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$ all'unica soluzione u del problema. \[ \left(*\right)\begin{cases} \begin{array}{c} u\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right)\cap L^{\infty}\left(\Omega\right)\\ \left\langle Au,\, w*\varphi\right\rangle -\left\langle A*w*,\, u\varphi\right\rangle +\left\langle 1,u\varphi\right\rangle =\left\langle f,w*\varphi\right\rangle \:\forall\varphi\epsilon C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right) \end{array}\end{cases} \] Studiamo inoltre in maniera sistematica le proprietà delle soluzioni di tale equazione. Dimostriamo infine il seguente risultato di densità: per ogni w{*}$\epsilon$K{*} esiste una successione $\Omega_{h}$ di sottoinsiemi aperti di $\Omega$ tali che per ogni f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$ le soluzioni u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ dell'equazione Au$_{h}$=f in $\Omega_{h}$, estese a zero $\Omega/\Omega_{h}$ convergano debolmente in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$alla soluzione di ({*}).

In questo lavoro vengono provati due teoremi relativi alla commutatività di anelli s-unitali e di anelli periodici.

Problema con ostacolo costante e riordinamenti. Si dà una maggiorazione della misura dell'insieme di contatto della soluzione di una disequazione variazionale con ostacolo costante, con un operatore ellittico del secondo ordine contenente i termini di ordine inferiore.

Si caratterizzano le trasformazioni di Moebius olomorfe fra tutte le applicazioni olomorfe di dischi aperti di spazi di Banach di funzioni continue.