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On the perimeter deviation of a convex disc from a polygon
Florian, August
1992
Abstract
Nel piano siano C$_{1}$ e C$_{2}$ due insiemi compatti e convessi.
Indichiamo con $\rho$$^{P}$(C$_{1}$ e C$_{2}$) la distanza tra
loro nella metrica L$_{1}$. Si denota con P$_{n}$ un qualunque poligono
convesso di n vertici al massimo. Fissato un convesso C, esiste un
poligono P$_{n}$ = P$_{n}$(C) minimante la distanza $\rho$$^{P}$
(C, P$_{n}$). In questo lavoro studiamo alcune proprietà di tale
P$_{n}$(C). Se l'insieme C ha il perimetro p, si prova che
\[
\rho^{P}\left(C,P_{n}\left(C\right)\right)\leq p\left(1-\frac{2n}{\pi}\arcsin\left(\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{n}\right)\right).
\]
L'uguaglianza vale se C è un cerchio.
Let C$_{1}$ and C$_{2}$ be two compact convex subsets of the plane.
We denote by $\rho$$^{P}$(C$_{1}$ e C$_{2}$) the distance between
C$_{1}$ and C$_{2}$ determined by the L$_{1}$ metric. Let P$_{n}$
be any convex polygon with at most n vertices. Given a convex set
C, there's a polygon P$_{n}$ = P$_{n}$(C) minimizing the distance
$\rho$$^{P}$ (C, P$_{n}$). In this paper we study some properties
of P$_{n}$(C). If the set C has the perimeter p, we prove that
\[
\rho^{P}\left(C,P_{n}\left(C\right)\right)\leq p\left(1-\frac{2n}{\pi}\arcsin\left(\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{n}\right)\right).
\]
Equality holds if C is a circle.
Series
Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
24 (1992)
Publisher
Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source
August Florian, “On the perimeter deviation of a convex disc from a polygon”, in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 24 (1992), pp. 177-191.
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