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Invariant manifolds for singularly pertubated parabolic equations

Prizzi, Martino
1994
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ISSN
0049-4704
http://hdl.handle.net/10077/4640
  • Article

Abstract
Consideriamo un sistema in cui un'equazione differenziale è accoppiata a un'equazione di evoluzione singolarmente perturbata: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} \overset{\dot{x}=f\left(t,x,y,\epsilon\right)}{}\\ \epsilon\dot{y}=A\left(t,x\right)y+g\left(t,x,y,\epsilon\right) \end{array}\end{cases} \] Dimostreremo che, per $\epsilon$ piccolo, il sistema ammette una varietà invariante regolare C$_{\epsilon}$=$\left\{ \left(t,x,y\right)\mid y=k\left(t,x,\epsilon\right)\right\} $ e che l'equazione ridotta x=f (t, x, k (t, x, $\epsilon$), $\epsilon$) è C$^{r}$ vicina alla ``equazione limite'' x= f (t, x, 0, 0). Daremo anche una descrizione qualitativa della dinamica vicino alla varietà invariante C$_{\epsilon}$.
We consider a system in which a differential equation is coupled with a singularly perturbed semilinear evolution equation, namely: \[ \begin{cases} \begin{array}{c} \overset{\dot{x}=f\left(t,x,y,\epsilon\right)}{}\\ \epsilon\dot{y}=A\left(t,x\right)y+g\left(t,x,y,\epsilon\right) \end{array}\end{cases} \] We will prove that, for small $\epsilon$ , the system admits a smooth invariant manifold C$_{\epsilon}$=$\left\{ \left(t,x,y\right)\mid y=k\left(t,x,\epsilon\right)\right\} $ and that the reduced equation x=f (t, x, k (t, x, $\epsilon$), $\epsilon$) is C$^{r}$ near to the \textquotedbl{}limit equation\textquotedbl{} x= f (t, x, 0, 0). We will also give a qualitative description of the dynamics near the invariant manifold C$_{\epsilon}$.
Series
Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
26 (1994)
Publisher
Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source
Martino Prizzi, "Invariant manifolds for singularly pertubated parabolic equations", in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 26 (1994), pp. 151-210.
Languages
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