Chern invariant and orbital magnetization as local quantities

Bianco, Raffaello
2014-03-20
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Abstract
La geometria, e la topologia in particolare, rivestono un profondo ruolo in molti campi della fisica ed in particolare in materia condensata ove è possibile identificare diversi stati quantistici della materia attraverso proprietà topologiche. L'invariante di Chern è un invariante topologico che caratterizza lo stato isolante dei cristalli. Esso è definito attraverso la descrizione in spazio reciproco di un cristallo perfetto, per cui è necessario considerare un sistema infinito oppure finito ma con condizioni periodiche al bordo. In questa tesi il concetto di invariante di Chern viene generalizzato definendo un opportuno marcatore locale di Chern in spazio reale. Infatti se si considera un cristallo perfetto infinito oppure finito e con condizioni periodiche al bordo, la media sulla cella elementare di questo marcatore restituisce il consueto invariante di Chern. Tuttavia, grazie al suo carattere locale, il marcatore di Chern è ben definito e può essere utilizzato per identificare il carattere locale di Chern anche di un sistema microscopicamente disordinato o macroscopicamente disomogeneo (ad esempio etorogiunzioni di diversi cristalli) e con qualsiasi tipo di condizioni al bordo (periodiche o aperte). Nella seconda parte della tesi l'invariante locale di Chern viene utilizzato per fornire una descrizione locale in spazio reale della magentizzazione orbitale. Questa descrizione è utilizzabile sia con condizioni al bordo aperte che periodiche e quindi unifica i due separati approcci utilizzati in questi due casi. La nuova formula permette, inoltre, di ottenere anche una migliore comprensione del ruolo che gli stati di bordo rivestono nella magnetizzazione di un sistema. In entrambi i casi vengono presentati i risultati di simulazioni numeriche che confermano i risultati teorici derivati.
The geometry and the topology play a profound role in many fields of physics and in particular in condensed matter where it is possible to identify different quantum states of matter through their topological properties. The Chern invariant is a topological invariant which characterizes the insulating state of crystals. It is defined through the description in the reciprocal space of a perfect crystal, which then has to be considered as an infinite system or a finite size system with periodic boundary conditions. In this thesis the concept of Chern invariant is generalized by defining a local Chern marker in the real space. For an infinite crystal or a finite crystal with periodic boundary conditions, the average of this marker over an elementary unit cell returns the usual invariant Chern. However, thanks to its local character, the Chern marker is well defined and can be used to identify the local Chern character also of microscopically disordered systems or macroscopically inhomogeneous systems (e.g. heterojunctions of different crystals) and with any kind of boundary conditions adopted (periodic boundary conditions or open bounday conditions as well). In the second part of the thesis the local Chern invariant is used to provide a local description in the real space of the orbital magnetization. This description can be used both with open and periodic boundary conditions, so it unifies the two separate approaches used in these different cases. Moreover, the new formula makes it possible to get a better understanding of the role that the edge states play in the magnetization of a system. In both cases we present the results of numerical simulations that confirm the theoretical results.