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Derived categories in algebra and topology
May, J.P.
1993
Abstract
Un'analogia fra la categoria derivata dei moduli su un anello e la
categoria omotopica stabile degli spettri viene sviluppata in modo
da evidenziare una più stretta analogia fra la categoria derivata
dei moduli E$\infty$ su un'algebra E$\infty$ e la categoria derivata
degli spettri di moduli E$\infty$ su uno spettro di anelli E$\infty$.
Sia nel contesto algebrico che in quello topologico queste nuove categorie
derivate permettono di studiare \textquotedbl{}moduli a meno di omotopia\textquotedbl{}
su \textquotedbl{}algebre a meno di omotopia\textquotedbl{}, in maniera
analoga a come si studiano gli usuali moduli nell'algebra omologica
classica. Molteplici sono le applicazioni in topologia algebrica,
K-teoria algebrica e geometria algebrica. Questa breve esposizione
illustra le idee e fornisce un sunto delle definizioni rilevanti in
entrambi i contesti.
An analogy between the derived category of modules over a commutative
ring and the stable homotopy category of spectra is elaborated to
a much closer analogy between the derived category of E$\infty$ modules
over an E$\infty$ algebra and the derived category of E$\infty$
module spectra over an E$\infty$ring spectrum. In both the algebraic
and topological contexts, these new derived categories allow one to
study \textquotedbl{}modules up to homotopy\textquotedbl{} over \textquotedbl{}commutative
algebras up to homotopy\textquotedbl{} in much the same way that one
studies ordinary modules in classical homological algebra. There are
many applications in algebraic topology, algebraic K-theory, and algebraic
geometry. This expository note explains the ideas and gives a brief
summary of the relevant definitions in both contexts.
Series
Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
25 (1993)
Publisher
Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source
J.P. May, “Derived categories in algebra and topology”, in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 25 (1993), pp. 363-375.
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