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Limits of Dirichlet problems in perforated domains: a new formulation
Dal Maso, G.
Toader, R.
1994
Abstract
Sia A un operatore ellittico lineare del secondo ordine con coefficienti
misurabili e limitati su un aperto limitato $\Omega$ di $\mathbf{R}^{\textrm{n}}$
, sia
\[
K*=\{w*\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right):A*w*\leq1\, in\,\mathcal{D}'\left(\Omega\right)\qquad,
\]
\[
e,\, w*\geq0\, a.e.\, in\,\Omega\}\qquad,
\]
e sia $\Omega_{h}$ un'arbitraria successione di sottoinsiemi aperti
di $\Omega$. Dimostriamo il seguente risultato di compattezza: esistono
una sottosuccessione, che indichiamo ancora con $\Omega_{h}$ ed una
funzione w{*} $\epsilon$ K{*} tali che, per ogni f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$
, le soluzioni u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ delle
equazioni Au$_{h}$ = f in $\Omega_{h}$ , estese a zero su $\Omega/\Omega_{h}$,
convergano debolmente in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$ all'unica
soluzione u del problema.
\[
\left(*\right)\begin{cases}
\begin{array}{c}
u\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right)\cap L^{\infty}\left(\Omega\right)\\
\left\langle Au,\, w*\varphi\right\rangle -\left\langle A*w*,\, u\varphi\right\rangle +\left\langle 1,u\varphi\right\rangle =\left\langle f,w*\varphi\right\rangle \:\forall\varphi\epsilon C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)
\end{array}\end{cases}
\]
Studiamo inoltre in maniera sistematica le proprietà delle soluzioni
di tale equazione. Dimostriamo infine il seguente risultato di densità:
per ogni w{*}$\epsilon$K{*} esiste una successione $\Omega_{h}$
di sottoinsiemi aperti di $\Omega$ tali che per ogni f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$
le soluzioni u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ dell'equazione
Au$_{h}$=f in $\Omega_{h}$, estese a zero $\Omega/\Omega_{h}$ convergano
debolmente in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$alla soluzione di ({*}).
Let A be a linear elliptic operator of the second order with bounded
measurable coefficients on a bounded open set $\Omega$ of $\mathbf{R}^{\textrm{n}}$
, let
\[
K*=\{w*\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right):A*w*\leq1\, in\,\mathcal{D}'\left(\Omega\right)\qquad,
\]
\[
e,\, w*\geq0\, a.e.\, in\,\Omega\}\qquad,
\]
and let $\Omega_{h}$ be an arbitrary sequence of open subsets of
$\Omega$. We prove the following compactness result: there exist
a subsequence, still denoted by $\Omega_{h}$ and a function w{*}
$\epsilon$ K{*} such that, for every f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$
, the solutions u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$
of the equation Au$_{h}$ = f in $\Omega_{h}$ , extended by zero
on $\Omega/\Omega_{h}$, converge weakly in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$
to the unique solution u of the problem.
\[
\left(*\right)\begin{cases}
\begin{array}{c}
u\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega\right)\cap L^{\infty}\left(\Omega\right)\\
\left\langle Au,\, w*\varphi\right\rangle -\left\langle A*w*,\, u\varphi\right\rangle +\left\langle 1,u\varphi\right\rangle =\left\langle f,w*\varphi\right\rangle \:\forall\varphi\epsilon C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)
\end{array}\end{cases}
\]
We provide a self-contained study of the properties of the solutions
of ({*}). We prove also the following density result: for any w{*}$\epsilon$K{*}
there exists a sequence $\Omega_{h}$ of open subsets of $\Omega$
such that for every f $\epsilon L^{\infty}\left(\Omega\right)$ the
solutions u$_{h}\epsilon H_{0}^{1}\left(\Omega_{h}\right)$ of the
equation Au$_{h}$=f in $\Omega_{h}$, extended by zero on $\Omega/\Omega_{h}$
converge weakly in $H_{0}^{1}\left(\Omega\right)$to the solution
of ({*}).
Series
Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
26 (1994)
Publisher
Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source
G. dal Maso and R. Toader, "Limits of Dirichlet problems in perforated domains: a new formulation", in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 26 (1994), pp. 339-360.
Languages
en
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