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Il problema di Cauchy per una classe di equazioni differenziali lineari a derivate parziali con coefficienti discontinui
The Cauchy problem for a class of linear partial differential equations with discontinuous coefficients
De Simon, Luciano
Torelli, Giovanni
1988
Abstract
In questo lavoro si studiano equazioni della forma
\[
\begin{aligned}(\text{\textdegree)\qquad\qquad}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad & u+\sum a_{i}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=0\end{aligned}
\]
in cui i coefficienti a$_{i}$ (t, x$_{1}$,..., Xn) possono essere
discontinui e per le quali viene adottata una particolare nozione
di soluzione di tipo generalizzato già introdotta in un precedente
lavoro. Si dimostra che il problema di Cauchy associato a (\textdegree{})
con dato iniziale di classe C\textdegree{} ha una ed una sola soluzione
di classe C. I risultati precedentemente ottenuti vengono così estesi
a situazioni alquanto più generali relativamente alle condizioni imposte
sul comportamento delle discontinuità dei coefficienti a$_{i}$. L'ipotesi
fondamentale richiede, sostanzialmente, che ogni eventuale linea fatta
di punti di discontinuità per i coefficienti a$_{i}$ verifichi una
certa \textquotedbl{}condizione di trasversalità\textquotedbl{} (di
cui verosimilmente non è possibile fare a meno) rispetto al campo
vettoria le definente le caratteristiche di (\textdegree{}).
In this paper we study first order evolution equations of the form
\[
\begin{aligned}(\text{\textdegree)\qquad\qquad}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad & u+\sum a_{i}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=0\end{aligned}
\]
where the coefficients a$_{i}$ (t, x$_{1}$,..., Xn) may be discontinuous.
The solutions of (\textdegree{}) are intended in some weak sense,
as introduced in a previous work on the same subject. We prove the
existence and uniqueness of C\textdegree{} solution of the Cauchy's
problem associated to the equation (\textdegree{}) with C\textdegree{}
initial condition. The previous results are so extended to much more
general situations relative to the behaviour of the discontinuities
of the coefficients a$_{i}$. provided that each line (if any) which
consists of points of discontinuity for the vectorfield defining the
characteristics of (\textdegree{}) fulfilles some \textquotedbl{}transversality
condìtion\textquotedbl{} (which seemingly cannot be omitted) with
respect to the above vectorfield.
Series
Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
20 (1988) s.
Publisher
Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source
Luciano De Simon, Giovanni Torelli, “Il problema di Cauchy per una classe di equazioni differenziali lineari a derivate parziali con coefficienti discontinui”, in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 20 (1988) s., pp. 65-81.
Languages
it
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