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A projective homotopy theory for non-additive categories
Hardie, K.A.
Vermeulen, J.J.C.
1993
Abstract
La teoria d’omotopia di Eckmann e Hilton associata agli oggetti proiettivi nella categoria dei moduli su un anello R, è stato uno dei primi esempi nei quali la teoria dell’omotopia veniva considerata in un contesto non topologico. Una mappa è nullomotopica se e solo se può essere fattorizzata attraverso un modulo proiettivo.I moduli proiettivi sono perciò gli oggetti contraibili della teoria. Grazie alla struttura additiva la relazione d’omotopia è determinala dagli oggetti contraibili: le mappe f e g sono omotopiche se e solo se f — g è nullomotopica. Ci si può chiedere se la classe degli oggetti proiettivi di una categoria non additiva determini essa pure una teoria d’omotopia. Interpretando gli 'oggetti proiettivi' di una struttura proiettiva nel senso di Maranda, diamo una risposta positiva alla domanda; per una categoria puntata F che ha limiti e colimiti finiti e dotata di una struttura proiettiva, costruiamo una classe fib di fibrazioni e un’appropriata classe we di equivalenze deboli tali che (F, fib, we) soddisfino gli assiomi di una categoria di oggetti fibranti nel senso di K.S. Brown.
The homotopy theory due to Eckmann and Hilton associated with the projective objects in the category of modules over a ring R was one of the first examples in which homotopy theory was considered in a non-topological context. A map is nullhomotopic if and only if it can be factored through a projective module. The projective modules are the contractible objects in the theory. Because of the additive structure, the homotopy relation is determined by the contractible objects: maps f and g are homotopic if and only if f — g is nullhomotopic. One may ask whether the class of projective objects of a non- additive category also determines a homotopy theory. Interpreting 'projective objects' in terms of a projective structure in the sense of Maranda, we give a positive answer to the question: for a pointed category F with finite limits and colimits and equipped with a projective structure, we construct a class fib of fibrations and an appropriate class we of weak equivalences such that (F, fib, we) satisfies the axioms of a category of fibrant objects in the sense of K.S. Brown.
Series
Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
25 (1993)
Publisher
Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source
K.A. Hardie, J.J.C. Vermeulen, “A projective homotopy theory for non-additive categories”, in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 25 (1993), pp. 263-276.
Languages
en
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