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On critical groups and the homotopy index in Morse theory on Hilbert manifolds

Rybakowski, Krzysztof P.
1986
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ISSN
0049-4704
http://hdl.handle.net/10077/5030
  • Article

Abstract
Sia U un aperto nello spazio di Hilbert H, $\varphi\epsilon C^{2-}(U,\mathbf{R)\textrm{,}}\xi\epsilon U$ un punto critico isolato di $\varphi$, e $\pi$il flusso generato dalle soluzioni di $\dot{u}$=-$\triangle\varphi(u)$. Se $\xi$ ha un intorno fortemente ammissibile, allora i gruppi critici di ($\varphi$, $\xi$) nel senso di Rothe sono isomorfi ai gruppi di omologia dell'indice di omotopia di ($\pi,\left\{ \xi\right\} )$ (Teorema 2). Se $\varphi\epsilon C^{2}(U,\mathbf{R})$, $\varphi''(\xi)$ è un'applicazione di Fredholm, ma $\xi$ non ha un intorno fortemente ammissibile, allora tutti i gruppi critici di ($\varphi,\xi)$ sono uguali a zero (banali) (Teorema 4).
Let U be open in the Hilbert space H, $\varphi\epsilon C^{2-}(U,\mathbf{R)\textrm{,}}\xi\epsilon U$ be an isolated criticai point of $\varphi$, and $\pi$ be the flow generated by the solutions of $\dot{u}$=-$\triangle\varphi(u)$. If $\xi$ has a strongly admissible neighborhood, then the critical groups of ($\varphi$, $\xi$) are isomorphic to the homology groups of the homotopy index of ($\pi,\left\{ \xi\right\} )$ (Theorem 2). If $\varphi\epsilon C^{2}(U,\mathbf{R})$, $\varphi''(\xi)$ is a Fredholm operator, but $\xi$ does not have a strongly admissible neighborhood then all critical groups of ($\varphi,\xi)$ are trivial (Theorem 4).
Series
Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
18 (1986)
Publisher
Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source
Krzysztof P. Rybakowski, “On critical groups and the homotopy index in Morse theory on Hilbert manifolds”, in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 18 (1986), pp. 163-176.
Languages
en
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