$\tau$-Paracompactness and Regularity

Abstract

Sia $\tau$ un numero cardinale infinito. Uno spazio $T_{1}X$ si dice $\tau$-paracompatto se ogni ricoprimento aperto $\mathcal{U}$ di X tale che $card\left(\mathcal{U}\right)\leq\tau$ ha un raffinamento aperto localmente finito. In questa nota si forniscono alcune condizioni equivalenti alla regolarità nell'ambito degli spazi $\tau$-paracompatti. Come corollario si ottiene il seguente risultato di Aull: ogni spazio $T_{2}$ numerabilmente paracompatto e numerabile di 1\textdegree{} tipo è regolare.

Let$\tau$ be an infinite cardinal number. A $T_{1}\textrm{-space }X$ is called $\tau$-paracompact if every open cover $\mathcal{U}$ of X such that $card\left(\mathcal{U}\right)\leq\tau$ has a locally finite open refinement. In this note we give some conditions which are equivalent to regularity in the realm of $\tau$-paracompact spaces. As a corollary we obtain the following well-known result of Aull: every Hausdorff countably paracompact first countable space is regular.