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Invariant manifolds for singularly pertubated parabolic equations
Prizzi, Martino
1994
Abstract
Consideriamo un sistema in cui un'equazione differenziale è accoppiata
a un'equazione di evoluzione singolarmente perturbata:
\[
\begin{cases}
\begin{array}{c}
\overset{\dot{x}=f\left(t,x,y,\epsilon\right)}{}\\
\epsilon\dot{y}=A\left(t,x\right)y+g\left(t,x,y,\epsilon\right)
\end{array}\end{cases}
\]
Dimostreremo che, per $\epsilon$ piccolo, il sistema ammette una
varietà invariante regolare C$_{\epsilon}$=$\left\{ \left(t,x,y\right)\mid y=k\left(t,x,\epsilon\right)\right\} $
e che l'equazione ridotta x=f (t, x, k (t, x, $\epsilon$), $\epsilon$)
è C$^{r}$ vicina alla ``equazione limite'' x= f (t, x, 0, 0). Daremo
anche una descrizione qualitativa della dinamica vicino alla varietà
invariante C$_{\epsilon}$.
We consider a system in which a differential equation is coupled with
a singularly perturbed semilinear evolution equation, namely:
\[
\begin{cases}
\begin{array}{c}
\overset{\dot{x}=f\left(t,x,y,\epsilon\right)}{}\\
\epsilon\dot{y}=A\left(t,x\right)y+g\left(t,x,y,\epsilon\right)
\end{array}\end{cases}
\]
We will prove that, for small $\epsilon$ , the system admits a smooth
invariant manifold C$_{\epsilon}$=$\left\{ \left(t,x,y\right)\mid y=k\left(t,x,\epsilon\right)\right\} $
and that the reduced equation x=f (t, x, k (t, x, $\epsilon$), $\epsilon$)
is C$^{r}$ near to the \textquotedbl{}limit equation\textquotedbl{}
x= f (t, x, 0, 0). We will also give a qualitative description of
the dynamics near the invariant manifold C$_{\epsilon}$.
Series
Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
26 (1994)
Publisher
Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source
Martino Prizzi, "Invariant manifolds for singularly pertubated parabolic equations", in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 26 (1994), pp. 151-210.
Languages
en
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