Uniformly approachable functions and spaces

Abstract

Le funzioni uniformemente approssimabili (UA) (introdotte in $\left[DP\right]$ in una forma più debole) sono una naturale generalizzazione delle funzioni uniformemente continue e perfette. In questa nota si studiano le funzioni UA e gli spazi UA ovvero quegli spazi uniformi in cui ogni funzione reale continua è UA. Tali spazi comprendono propriamente gli spazi UC (spazi di Atsuji). Si caratterizzano inoltre i sottospazi di $\mathbf{R}$ che sono debolmente UA e si fornisce una nuova caratterizzazione degli spazi UC. Si prova infine un risultato topologico che implica, sotto l'ipotesi del continuo, l'esistenza di un insieme $M\subseteq\mathbf{R^{\textrm{n}}}$ tale che se f, g $\epsilon\textrm{C}\left(\mathbf{R^{\textrm{n}},\mathbf{R}}\right)$ sono non costanti su ogni aperto e g(M)$\subseteq$f(M), allora f=g.

Uniformly approachable (UA) (introduced in $\left[?\right]$ in a weaker form) are a common generalization of uniformly continuous functions an d perfect functions. We study UA-functions and UA-spaces i. e. those uniform spaces in which every real valued continuous function is UA. Such spaces properly include the UC-spaces (Atsuji spaces). We characterize the weakly-UA subspaces of $\mathbf{R}$ and give a new characterization of the UC spaces. We prove a topological result which implies, under the continuum hypothesis, the existence of a set $M\subseteq\mathbf{R^{\textrm{n}}}$ such that if f, g $\epsilon\textrm{C}\left(\mathbf{R^{\textrm{n}},\mathbf{R}}\right)$ are not constant on any open set and g(M)$\subseteq$f(M), then f=g.