Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10077/4732
Title: An application of the theory of selections in analysis
Authors: Repovš, Dušan
Semenov, Pavel V.
Issue Date: 1993
Publisher: Università degli Studi di Trieste. Dipartimento di Scienze Matematiche
Source: Dušan Repovš, Pavel V. Semenov, “An application of the theory of selections in analysis”, in: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics, 25 (1993), pp. 441-446.
Series/Report no.: Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste. An International Journal of Mathematics
25 (1993)
Abstract: Usando uno dei teoremi di selezione di E. Michwel si prova il seguente risultato: siano (X, d) e (Y, p) spazi metrici e sia X localmente compatto. Sia $\mathcal{C}$( X, Y) l'insieme di tutte le mappe continue da X a Y, dotato della topologia della convergenza uniforme. Allora esiste una funzione continua ad un valore $\hat{\delta}\::\:\mathcal{C}\left(\textrm{X,Y}\right)\times\textrm{X}\times\left(0,\infty\right)\rightarrow\left(0,\infty\right)$ e per ogni x' $\epsilon$ X : d(x,x') < $\hat{\delta}$(f, x, $\epsilon$) $\Rightarrow$ p(f(x),f(x')) < $\epsilon$. Come corollario, si ottiene un'altra dimostrazione del fatto che il teorema di Cantor sulla uniforme continuità implica il Teorema di Weierstrass sulla limitatezza delle funzioni continue sui compatti.
Using one of E. Michael's selection theorems we prove the following result: Let (X, d) and (Y, p) be metric spaces and suppose that X is locally compact. Let $\mathcal{C}$( X, Y) be the set of all continuous maps from X to Y, endowed with the topology of uniform convergence. Then there exists a continuous singlevalued function $\hat{\delta}\::\:\mathcal{C}\left(\textrm{X,Y}\right)\times\textrm{X}\times\left(0,\infty\right)\rightarrow\left(0,\infty\right)$ such that for every (f, x, $\epsilon$) $\epsilon\mathcal{C}\left(\textrm{X,Y}\right)\times\textrm{X}\times\left(0,\infty\right)$ and for every x' $\epsilon$ X : d(x,x') < $\hat{\delta}$(f, x, $\epsilon$) $\Rightarrow$ p(f(x),f(x')) < $\epsilon$. As a corollary, we obtain another proof that the Cantor theorem on uniform continuity implies the Weierstrass theorem on boundedness of continuous functions on compacta.
URI: http://hdl.handle.net/10077/4732
ISSN: 0049-4704
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