More about two parameter SOR method

Abstract

Dato un sistema lineare Ax=b, uno spezzamento A=A$_{0}$-A$_{1}$ porta alla successione iterativa $x_{k}=Bx_{k-1}$ + C con B = $A_{0}^{-1}A_{1}$ e C=$A_{0}^{-1}b$. Il vettore dell'errore è $e_{k}=x_{k}-x_{soluzione}$ e fornisce $e_{k}=Be_{k-1}=...=B^{k}e_{0}$. Perciò $\parallel e_{k}\parallel$=$\parallel B^{k}e_{0}\parallel$<$\parallel B^{k}\parallel\cdot\parallel e_{0}\parallel\approx C_{k,p}\rho\left(B\right)^{k-p}\cdot e_{0}$. Dunque la convergenza a breve termine (rispettivamente a lungo termine) può essere migliorata minìmizzando le norme di B (rispettivamente il raggio spettrale di B). In questo lavoro si considerano sia il raggio spettrale che le norme dì differenti matrici iterative in competizione fra loro.

Given linear system Ax=b, a splitting A=A$_{0}$-A$_{1}$ leads to the iterative sequence $x_{k}=Bx_{k-1}$ + C with B = $A_{0}^{-1}A_{1}$ and C=$A_{0}^{-1}b$. The error vector is $e_{k}=x_{k}-x_{solution}$ wich yelds $e_{k}=Be_{k-1}=...=B^{k}e_{0}$. Hence $\parallel e_{k}\parallel$=$\parallel B^{k}e_{0}\parallel$<$\parallel B^{k}\parallel\cdot\parallel e_{0}\parallel\approx C_{k,p}\rho\left(B\right)^{k-p}\cdot e_{0}$. Therefore the short-term (long-term) convergence may be improved by minimizing norms of B (spectral radius of B). In this paper we consider both the spectral radius and the norms of competing iteration matrices.