Multiple periodic solutions for autonomous Lagrangian systems

Abstract

In questo lavoro si studia il seguente sistema Lagrangiano autonomo \[ \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\xi}(q,\dot{q})-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}(q,\dot{q})=0\quad q\epsilon C^{2}(\mathbf{R\textrm{,}R^{\textrm{N}}\textrm{)}} \] dove \[ \mathcal{L}\left(q,\xi\right)=\frac{1}{2}\overset{}{\underset{i,j=1}{\overset{N}{\sum}}}a_{i,j}\left(q\right)\xi i,\xi j-V\left(q\right)\quad q,\xi\epsilon\mathbf{R^{\textrm{N}}}. \] Con metodi variazionali, si stabilisce l'esistenza di soluzioni periodiche multiple di periodo prefissato, nel casi in cui V ( q) $\rightarrow$c per $\mid q\mid\rightarrow+\infty$ e V non è limitato ed è sottoquadratico all'infinito.

This paper deals with the autonomous Lagrangian system \[ \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\xi}(q,\dot{q})-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}(q,\dot{q})=0\quad q\epsilon C^{2}(\mathbf{R\textrm{,}R^{\textrm{N}}\textrm{)}} \] where \[ \mathcal{L}\left(q,\xi\right)=\frac{1}{2}\overset{}{\underset{i,j=1}{\overset{N}{\sum}}}a_{i,j}\left(q\right)\xi i,\xi j-V\left(q\right)\quad q,\xi\epsilon\mathbf{R^{\textrm{N}}}. \] Using variational methods the existence of multiple periodic solutions of prescribed period is established, when V ( q) $\rightarrow$c as $\mid q\mid\rightarrow+\infty$ and when V is subquadratic and unbounded at infinity.