Comparison of hypertopologies

Abstract

Sia CL(X) la famiglia di tutti i sottoinsiemi chiusi non vuoti di uno spazio di Tychonoff X con una base d'uniformità compatibile $\nu$ e una prossimitià compatibile $\partial$. In questo lavoro si studiano le relazioni esistenti tra varie topologie di CL( X), dette ipertopologie, e cioè: le ipertopologie di Fell, Wijsman, della palla prossimale, della palla, prossimale, localmente finita, prossimale localmente finita, di Hausdorff, di Vietoris, etc. Benchè il lavoro contenga un buon numero di risultati nuovi, esso si presenta anche come un lavoro di rassegna. La ricerca delle condizioni sotto le quali le suddette ipertopologie sono a due a due uguali, produce interessanti caratterizzazioni di proprietà topologiche ed uniformi di X. Alcune di queste proprietà sono la compattezza, la pseudocompattezza, la totale limitatezza, l' equinormalità, etc. Questi risultati generalizzano alcuni dei risultati contenuti in un recente lavoro di Beer, Lechicki, Levi e Naimpally intitolato \textquotedbl{}Distance functionals and suprema of hyperspace topologies\textquotedbl{}.

Let CL( X) denote the family of all nonempty closed subsets of a Tychonoff space X with a compatible uniformity base$\nu$ and a compatible proximity $\partial$. In this paper a study is made of the relationships that exist among various topologies on CL( X), called hypertopologies, viz: Fell, Wijsman, proximal ball, Ball, Proximal, L ocally finite, Proximallocally finite, Hausdorff, Vietoris, etc. Although the paper contains several new results, it is also a survey. Investigations of conditions under which the above hypertopologies are pairwise equal, yield interesting characterizations of topological and uniform properties of X. Some of these properties are compactness, pseudocompactness, total boundedness, equinormality, etc. These results generalize some of the results contained in the recent paper \textquotedbl{}Distance functionals and suprema of hyperspace topologies\textquotedbl{} by Beer, Lechicki, Levi and Naimpally.