Comparison of hypertopologies

Sia CL(X) la famiglia di tutti i sottoinsiemi chiusi non vuoti di
uno spazio di Tychonoff X con una base d'uniformità compatibile $\nu$
e una prossimitià compatibile $\partial$. In questo lavoro si studiano
le relazioni esistenti tra varie topologie di CL( X), dette ipertopologie,
e cioè: le ipertopologie di Fell, Wijsman, della palla prossimale,
della palla, prossimale, localmente finita, prossimale localmente
finita, di Hausdorff, di Vietoris, etc. Benchè il lavoro contenga
un buon numero di risultati nuovi, esso si presenta anche come un
lavoro di rassegna. La ricerca delle condizioni sotto le quali le
suddette ipertopologie sono a due a due uguali, produce interessanti
caratterizzazioni di proprietà topologiche ed uniformi di X. Alcune
di queste proprietà sono la compattezza, la pseudocompattezza, la
totale limitatezza, l' equinormalità, etc. Questi risultati generalizzano
alcuni dei risultati contenuti in un recente lavoro di Beer, Lechicki,
Levi e Naimpally intitolato \textquotedbl{}Distance functionals and
suprema of hyperspace topologies\textquotedbl{}.

Let CL( X) denote the family of all nonempty closed subsets of a Tychonoff
space X with a compatible uniformity base$\nu$ and a compatible proximity
$\partial$. In this paper a study is made of the relationships that
exist among various topologies on CL( X), called hypertopologies,
viz: Fell, Wijsman, proximal ball, Ball, Proximal, L ocally finite,
Proximallocally finite, Hausdorff, Vietoris, etc. Although the paper
contains several new results, it is also a survey. Investigations
of conditions under which the above hypertopologies are pairwise equal,
yield interesting characterizations of topological and uniform properties
of X. Some of these properties are compactness, pseudocompactness,
total boundedness, equinormality, etc. These results generalize some
of the results contained in the recent paper \textquotedbl{}Distance
functionals and suprema of hyperspace topologies\textquotedbl{} by
Beer, Lechicki, Levi and Naimpally.