On critical groups and the homotopy index in Morse theory on Hilbert manifolds

Abstract

Sia U un aperto nello spazio di Hilbert H, $\varphi\epsilon C^{2-}(U,\mathbf{R)\textrm{,}}\xi\epsilon U$ un punto critico isolato di $\varphi$, e $\pi$il flusso generato dalle soluzioni di $\dot{u}$=-$\triangle\varphi(u)$. Se $\xi$ ha un intorno fortemente ammissibile, allora i gruppi critici di ($\varphi$, $\xi$) nel senso di Rothe sono isomorfi ai gruppi di omologia dell'indice di omotopia di ($\pi,\left\{ \xi\right\} )$ (Teorema 2). Se $\varphi\epsilon C^{2}(U,\mathbf{R})$, $\varphi''(\xi)$ è un'applicazione di Fredholm, ma $\xi$ non ha un intorno fortemente ammissibile, allora tutti i gruppi critici di ($\varphi,\xi)$ sono uguali a zero (banali) (Teorema 4).

Let U be open in the Hilbert space H, $\varphi\epsilon C^{2-}(U,\mathbf{R)\textrm{,}}\xi\epsilon U$ be an isolated criticai point of $\varphi$, and $\pi$ be the flow generated by the solutions of $\dot{u}$=-$\triangle\varphi(u)$. If $\xi$ has a strongly admissible neighborhood, then the critical groups of ($\varphi$, $\xi$) are isomorphic to the homology groups of the homotopy index of ($\pi,\left\{ \xi\right\} )$ (Theorem 2). If $\varphi\epsilon C^{2}(U,\mathbf{R})$, $\varphi''(\xi)$ is a Fredholm operator, but $\xi$ does not have a strongly admissible neighborhood then all critical groups of ($\varphi,\xi)$ are trivial (Theorem 4).