Sui fondamenti analitici per l'applicazione del metodo degli invarianti ortogonali ad un problema di autovalori per una equazione ellittica

Abstract

In questo lavoro si studia il problema di valori al contorno

(I), EE{*}u=f $\mathit{in}$ A

(II), D$^{s}$u= 0 $\mathit{su}$ \ensuremath{\partial} A $\mathit{per}$ 0$\leq$ $\mid s\mid$$\leq$m - 1

dove E è un particolare operatore ellittico di ordine m$\geq$1 ed E{*} è l'operatore formalmente aggiuntoo di E.

Di tali operatori è possibile costruire gli operatori soluzioni fondamentali. Ciò permette di dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione del problema (I), (II), in una opportuna classe $\mathscr{U}$ (A) per ogni F $\epsilon\mathcal{\mathscr{L}}$$^{2}$ (A). Il fatto più saliente è che dell'operatore di Green del problema (I), (II) si dà la forma esplicita. Ciò permette di studiare il problema di autovalori relativo ad (l), (Il) usando (oltre che il metodo di Rayleigh-Ritz) quello degli invarianti ortogonali.

In this paper the following bourtdary value problem is studied

(I), EE{*}u=f $\mathit{in}$ A

(II), D$^{s}$u= 0 $\mathit{su}$ \ensuremath{\partial} A $\mathit{per}$ 0$\leq$ $\mid s\mid$$\leq$m - 1

where E is a particular elliptic operator of order m$\geq$1 and E{*} is its formal adjoint.

It is possible to construct the fundamental solution operators of the above operators. This permits to prove the existence and the uniqueness of the solution of (I), (II), in a suitable function class $\mathscr{U}$ (A) for any F $\epsilon\mathcal{\mathscr{L}}$$^{2}$ (A). The most salient feature in the possibility of obtaining the Green operator of (l), (Il) in an explicit form. This enables to study the relevant eigenvalue problem by using (in addition to the Rayleigh-Ritz method) the orthogonal invariants method.