Anzahlsätze für Polynomfunktionen auf Verbänden

Abstract

Sia $F_{k}(V)$ l'insieme delle funzioni k-arie del reticolo V con valori in V. Con le operazioni in $F_{k}(V)$ definite punto per punto $F_{k}(V)$ diviene un reticolo. Il sottoreticolo generato dalle proiezioni e dalle funzioni costanti si chiama il reticolo delle funzioni polinomiali k-arie. Per i reticoli finiti distributivi si danno in funzione del numero degli elementi di V estimi per il numero delle funzioni polinominali k-arie su V. Per una classe di reticoli non-distributivi si dfà il numero esatto delle funzioni polinominali.

Let V be a lattice and $F_{k}(V)$ be the set of the mappings from $V^{k}$to V. By defining the lattice operations pointwise $F_{k}(V)$ becomes a lattice. The elements of the sublattice of $F_{k}(V)$, which is generated by the projections and the costant functions in $F_{k}(V)$, we shall call k-place polynomial functions. For finite distributive lattices V bounds depending on the order of V are given for the number of k-place polynomial functions of V, and for a subclass of non-distributive lattices the exact number of polynomial functions is determined.