Sulle applicazioni di R in R dotate di un punto unito attraente R

Abstract

Siano: $X_{0}$un numero reale; $\Phi'_{x0}$ l'insieme delle applicazioni di $R$ in sè per le quali risulti: $\underset{n}{\lim}\varphi^{n}(x)=x_{0}$per ogni $x$ di $R;\alpha),\beta),\gamma),\delta$ le proprietà indicate nell'introduzione del lavoro. Si stabiliscono (nel n.2) proprietà degli elementi di $\Phi'_{x0}$ , una proprietà degli elementi di $\Phi'_{x0}$godenti della proprietà $\beta)$, una proprietà degli elementi crescenti di $\Phi'_{x0}$ , e si dimostra che ogni elemento continuo o monofono di $\Phi'_{x0}$ gode della proprietà $\beta)$; inoltre (nel n.3) si dà una condizione sufficiente affinché appartenga a $\Phi'_{x0}$una applicazione di $R$ in sè avente in $x_{0}$un punto unito; in particolare, risulta elemento di $\Phi'_{x0}$ ogni applicazione continua di $R$ in $R$ godente delle proprietà $\alpha)$e $\beta)$; si dimostra infine che la proprietà $\delta)$è sufficiente affinché una applicazione crescente di $R$ in sé appartenga a $\Phi'_{x0}$ ed è peraltro necessaria e sufficiente affinché un'applicazione strettamente crescente di $R$ in sé appartenga a $\Phi'_{x0}$.